vecteur

Opérations

Soit $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in R^{n}$ .

Addition / soustraction

\begin{aligned} \vec{v} \pm \vec{w} & =< v_{1} \pm w_{1}, v_{2} \pm w_{2}, \dots v_{n} \pm w_{n} > \end{aligned}

$\vec{A B} = \vec{O B} - \vec{O A}$

$\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$

\begin{aligned} \vec{A B} + \vec{B C} & = (\vec{O B} - \vec{O A}) + (\vec{O C} + \vec{O B}) \\ = \vec{O C} - \vec{O A} \\ = \vec{A C} \end{aligned}

Commutativité

$\vec{v} \pm \vec{w} = \vec{w} \pm \vec{v}$

Associativité

$(\vec{u} \pm \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})$

Multiplication / division scalaire

\begin{aligned} k & \in R \\ ⟹ k \vec{v} & =< k v_{1}, k v_{2}, \dots k v_{n} > \\ ⟹ \frac{\vec{v}}{k} & =< \frac{v_{1}}{k}, \frac{v_{2}}{k}, \dots \frac{v_{n}}{k} > \end{aligned}

Distributivité sur somme de scalaires

$(a \pm b) \vec{u} = a \vec{u} \pm b \vec{u}$

\begin{aligned} (a + b) \vec{u} & =< (a + b) u_{1}, (a + b) u_{2}, \dots (a + b) u_{n} > \\ =< a u_{1} + b u_{1}, a u_{2} + b u_{2}, \dots a u_{3} + b u_{n} > \\ =< a u_{1}, a u_{2}, \dots a u_{n} > + < b u_{1}, b u_{2}, \dots b u_{n} > \\ = a \vec{u} + b \vec{u} \end{aligned}

$◻$

Distributivité sur somme de vecteurs

$a (\vec{u} \pm \vec{v}) = a \vec{u} \pm a \vec{v}$ & $\frac{\vec{u} \pm \vec{v}}{a} = \frac{\vec{u}}{a} \pm \frac{\vec{v}}{a}$

\begin{aligned} a (\vec{u} + \vec{v}) & = a < u_{1} + v_{1}, u_{2} + v_{2}, \dots u_{n} + v_{n} > \\ =< a (u_{1} + v_{1}), a (u_{2} + v_{2}), \dots a (u_{n} + v_{n}) > \\ =< a u_{1} + a v_{1}, a u_{2} + a v_{2}, \dots a u_{n} + a v_{n} > \\ =< a u_{1}, a u_{2}, \dots a u_{n} > + < a v_{1}, a v_{2}, \dots a v_{n} > \\ = a \vec{u} + a \vec{v} \end{aligned}

$◻$

Parallélisme

$\vec{v} ∥ \vec{w}$ si $\exists k \in R$ telle que

\vec{v} = k \vec{w}

[!example]+ Déterminer si $\vec{v} =< 1, 4, 1 >$ et $\vec{w} =< - 3, 12, - 3 >$ sont parallèles.
$\begin{aligned} v_{1} & = - \frac{1}{3} w_{1} \\ v_{2} & = \frac{1}{3} w_{2} \\ ⟹ \vec{v} & ∦ \vec{w} \end{aligned}$

Inverse

- \vec{v} = - 1 \cdot \vec{v}

Renverse l'orientation

$\forall \vec{u} \in R^{n}, \exists \vec{e} \in R^{n}$ tel que $\vec{u} + \vec{e} = \vec{0}$ .

Longueur

| | \vec{v} | | = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2} + \dots v_{n}^{2}} = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} v_{i}^{2}}

$k \vec{v} = | k | \cdot | | \vec{v} | |$

$\frac{\vec{v}}{| | \vec{v} | |}$ est unitaire.

Exemples

$\vec{v} =< 1, 2, 5 >, \vec{w} =< - 3, 5, - 2 >$

Évaluer $| | \vec{v} - 2 \vec{w} | |$ .

\begin{aligned} | | \vec{v} - 2 \vec{w} | | & = | | < 1 - 2 (- 3), 2 - 2 (5), 5 - 2 (- 2) > | | \\ = \sqrt{7^{2} + (- 8)^{2} + 9^{2}} \\ = 194 \end{aligned}

Trouver un vecteur unitaire dans la même direction que $\vec{v}$ .

\begin{aligned} | | \vec{v} | | & = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 5^{2}} \\ = \sqrt{30} \\ \frac{\vec{v}}{| | \vec{v} | |} & =< \frac{\sqrt{30}}{30}, \frac{\sqrt{30}}{15}, \frac{\sqrt{30}}{6} > \end{aligned}

Trouver un vecteur de longueur 12 qui pointe dans la direction opposée à $\vec{w}$ .

\begin{aligned} | | \vec{w} | | & = \sqrt{(- 3)^{2} + 5^{2} + (- 2)^{2}} \\ = \sqrt{38} \\ - \frac{12 \vec{w}}{| | \vec{w} | |} & =< \frac{18 \sqrt{38}}{19}, - \frac{30 \sqrt{38}}{19}, \frac{12 \sqrt{38}}{19} > \end{aligned}

Soit $P = (1, 1, 2)$ et $Q = (8, 15, - 12)$ .

Trouver le point $R$ situé au $\frac{2}{7}$ du chemin entre $P$ et $Q$ .

\begin{aligned} \vec{P Q} & =< 8 - 1, 15 - 1, - 12 - 2 > \\ =< 7, 14, - 14 > \\ \vec{P R} & = \frac{2}{7} \vec{P Q} \\ =< 2, 4, - 4 > \\ R & = P + \vec{P R} \\ = (3, 5, - 2) \end{aligned}

Trouver le point $S$ entre $P$ et $Q$ et à une distance de 3 de $P$ .

\begin{aligned} 3 & = | | \vec{P S} | | \\ = | | x \vec{P Q} | | \\ = \sqrt{(7 x)^{2} + (14 x)^{2} + (- 14 x)^{2}} \\ = \pm 21 x \\ x & = \frac{\pm 1}{7} \end{aligned}

Puisque $\vec{P S}$ et $\vec{P Q}$ pointent dans la même direction, $x$ et positif.

\begin{aligned} \vec{P S} & = x \vec{P Q} \\ =< 1, 2, - 2 > \\ S & = P + \vec{P S} \\ = (2, 3, 0) \end{aligned}

Soit $A = (1, 2), B = (6, 4), C = (2, 5), D = (5, 1)$ .

Vérifier que $A B C D$ forme un parallélogramme.

\begin{aligned} \vec{A C} & = \vec{D B} \\ < 2 - 1, 5 - 2 > & =< 6 - 5, 4 - 1 > \\ < 1, 3 > & =< 1, 3 > \\ \vec{A D} & = \vec{C B} \\ < 5 - 1, 1 - 2 > & =< 6 - 2, 4 - 5 > \\ < 4, - 1 > & =< 4, - 1 > \end{aligned}

Puisque les côtés opposés sont les mêmes vecteurs, $A B C D$ est un parallélogramme.

Calculer les longueurs des diagonales de $A B C D$ .

\begin{aligned} | | \vec{A B} | | & = \sqrt{(6 - 1)^{2} + (4 - 2)^{2}} \\ = \sqrt{29} \\ | | \vec{C D} | | & = \sqrt{(5 - 2)^{2} + (1 - 5)^{2}} \\ = 5 \end{aligned}

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Ajitani Hifumi

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