norme

Exemples

$\vec{v} =< 1, 2, 5 >, \vec{w} =< - 3, 5, - 2 >$

Évaluer $| | \vec{v} - 2 \vec{w} | |$ .

\begin{aligned} | | \vec{v} - 2 \vec{w} | | & = | | < 1 - 2 (- 3), 2 - 2 (5), 5 - 2 (- 2) > | | \\ = \sqrt{7^{2} + (- 8)^{2} + 9^{2}} \\ = 194 \end{aligned}

Trouver un vecteur unitaire dans la même direction que $\vec{v}$ .

\begin{aligned} | | \vec{v} | | & = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 5^{2}} \\ = \sqrt{30} \\ \frac{\vec{v}}{| | \vec{v} | |} & =< \frac{\sqrt{30}}{30}, \frac{\sqrt{30}}{15}, \frac{\sqrt{30}}{6} > \end{aligned}

Trouver un vecteur de longueur 12 qui pointe dans la direction opposée à $\vec{w}$ .

\begin{aligned} | | \vec{w} | | & = \sqrt{(- 3)^{2} + 5^{2} + (- 2)^{2}} \\ = \sqrt{38} \\ - \frac{12 \vec{w}}{| | \vec{w} | |} & =< \frac{18 \sqrt{38}}{19}, - \frac{30 \sqrt{38}}{19}, \frac{12 \sqrt{38}}{19} > \end{aligned}

Soit $P = (1, 1, 2)$ et $Q = (8, 15, - 12)$ , trouver le point $S$ entre $P$ et $Q$ et à une distance de 3 de $P$ .

\begin{aligned} 3 & = | | \vec{P S} | | \\ = | | x \vec{P Q} | | \\ = \sqrt{(7 x)^{2} + (14 x)^{2} + (- 14 x)^{2}} \\ = \pm 21 x \\ x & = \frac{\pm 1}{7} \end{aligned}

Puisque $\vec{P S}$ et $\vec{P Q}$ pointent dans la même direction, $x$ et positif.

\begin{aligned} \vec{P S} & = x \vec{P Q} \\ =< 1, 2, - 2 > \\ \vec{O S} & = \vec{O P} + \vec{P S} \\ =< 2, 3, 0 > \\ ⟹ S & = (2, 3, 0) \end{aligned}

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