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parallélépipède

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algebra/linear

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Prisme composé de 6 parallélogrammes

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Propriétés

Le volume du parallélépipède est le triple produit scalaire de ses vecteurs.
$V = | \vec{A B} \cdot (\vec{A C} \times \vec{A D}) |$

\begin{aligned} A_{B} & = | | \vec{A B} \times \vec{A C} | | \\ h & = | | \vec{A D} | | \cos θ \\ V & = A_{B} h \\ = | | \vec{A B} \times \vec{A C} | | | | \vec{A D} | | \cos θ \\ = \vec{A D} \cdot (\vec{A B} \times \vec{A C}) \\ = | \vec{A B} \cdot (\vec{A C} \times \vec{A D}) | \end{aligned}

$◻$

Exemples

Soit les vecteurs $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ tels que le volume du parallélépipède engendré par les 3 vecteurs soit 4. Calculer toutes les valeurs possible de $\vec{u} \cdot ((2 \vec{v} + \vec{w}) \times (\vec{w} + 3 \vec{u}))$ .

\begin{aligned} \vec{u} \cdot ((2 \vec{v} + \vec{w}) \times (\vec{w} + 3 \vec{u})) & = \vec{u} \cdot (2 \vec{v} \times \vec{w} + \underset{0}{\underset{⏟}{6 \vec{v} \times \vec{u}}} + \underset{0}{\underset{⏟}{\vec{w} \times \vec{w}}} + \underset{0}{\underset{⏟}{3 \vec{w} \times \vec{u}}}) \\ = 2 \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) \\ = 2 (\pm 4) \\ = \pm 8 \end{aligned}

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