Hifumi's Study Notes

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parallélogramme ​

Tags
algebra/linear
cegep/3
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355 words
Reading time
3 minutes

Quadrilatère dont les côtés opposés sont les mêmes vecteurs (même longueur et direction)

assets/excalidraw/parallélogramme

Propriétés ​

L'aire du parallélogramme est la norme du produit vectoriel de ses vecteurs.
A=||v→×w→||
L'aire du triangle formé par v→, w→ et v→−w→ est ||v→×w→||2.

Soit θ l'angle entre v→ et w→,

Aparallélogramme=bh=||v→|| ||w→||cos⁡θ=||v→×w→||⟹Atriangle=||v→×w→||2

◻

Vérification ​

Soit A,B,C,D∈Rn, déterminer si ces points forment un parallélogramme.

  1. Choisir un point de base (A).
  2. Calculer AB→,AC→,AD→.
  3. Vérifier si l'addition de deux de ces vecteurs donne l'autre, alors ABCD est un parallélogramme.

Exemples ​

Soit A=(1,2), B=(6,4), C=(2,5), D=(5,1).

  1. Vérifier que ABCD forme un parallélogramme.
AC→=DB→<2−1,5−2>=<6−5,4−1><1,3>=<1,3>AD→=CB→<5−1,1−2>=<6−2,4−5><4,−1>=<4,−1>

Puisque les côtés opposés sont les mêmes vecteurs, ABCD est un parallélogramme.

  1. Calculer les longueurs des diagonales de ABCD.
||AB→||=(6−1)2+(4−2)2=29||CD→||=(5−2)2+(1−5)2=5

Trouver l'aire du parallélogramme formé des points A=(0,5,7),B=(−1,13,8),C=(−4,−5,5),D=(−5,3,6).

AB→=OB→−OA→=⟨−1,8,1⟩AC→=OC→−OA→=⟨−4,−10,−2⟩AB→×AC→=[8(−2)+10⋅11(−4)+2(−1)(−1)(−10)+4⋅8]=[−6−642]||AB→×AC→||=(−6)2+(−6)2+422=651

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