plan 3D

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algebra/linear

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Équations

Générale

Soit $P=(x_0,y_0,z_0)\in \pi$ et un vecteur normal $\overrightarrow{n}=(a,b,c)$,

$$\begin{array}{rl}\pi :(⟨x,y,z⟩-\overrightarrow{OP})\cdot \overrightarrow{n}& =0\\ ax+by+cz-d& =0\\ d& =⟨a{x}_0,b{y}_0,c{z}_0⟩\end{array}$$

Vectorielle

Soit $P=(x_0,y_0,z_0)\in \pi$ et deux ==vecteurs directeurs== $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\parallel \pi$ de sorte que $\overrightarrow{u}\nparallel \overrightarrow{v}$,

$$\begin{array}{rl}\pi :⟨x,y,z⟩& =\overrightarrow{OP}+s\overrightarrow{u}+t\overrightarrow{v}\\ ⟨x,y,z⟩& =⟨x_0+s{u}_1+t{v}_1,y_0+s{u}_2+t{v}_2,z_0+s{u}_3+t{v}_3⟩\end{array}$$

• $\overrightarrow{u}\times \overrightarrow{v}$ est un vecteur normal de $\pi$.

Exemples

Soit $\pi :x+y-2z+3=0$.

1. Trouver un vecteur perpendiculaire à $\pi$.

$$\overrightarrow{n}=⟨1,1,-2⟩$$

2. Trouver un point sur $\pi$.

Soit $Q=(0,0,z)\in \pi$,

$$\begin{array}{rl}0+0-2z+3& =0\\ z& =\frac{3}{2}\\ ⟹Q& =(0,0,\frac{3}{2})\end{array}$$

Trouver une équation pour le plan $\pi$ perpendiculaire à

$$L:\{\begin{array}{ll}x& =2+t\\ y& =4\\ z& =4-5t\end{array}$$

et passant par $P=(1,-3,4)$.

Puisque $L\perp \pi$, $\overrightarrow{n}$ est le vecteur directeur de $L$, donc $⟨1,0,-5⟩$.

$$\begin{array}{rl}d& =\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{n}\\ & =⟨1,-3,4⟩\cdot ⟨1,0,-5⟩\\ & =1+0-20\\ & =-19\\ ⟹\pi :ax+by+cz-d& =0\\ \pi :x-5z+19& =0\end{array}$$

Donner l'équation d'un plan $\pi$ perpendiculaire à l'axe des $z$.

$\pi \perp z⟹\overrightarrow{n}\parallel z$

Soit $\overrightarrow{n}=⟨0,0,1⟩\parallel z$ et $P=(0,0,0)$.

$$\begin{array}{rl}d& =\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{n}=0\\ ⟹\pi :ax+by+cz& =0\\ z& =0\end{array}$$

Contributors

Ajitani Hifumi

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