projection vectorielle

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Opération vectorielle
La projection de $\overrightarrow{v}$ sur $\overrightarrow{d}$ est donnée par:

$$\begin{array}{rl}pro{j}_{\overrightarrow{d}}\overrightarrow{v}& =\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}|{|}^2}\overrightarrow{d}=\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{d}}\overrightarrow{d}=\frac{||\overrightarrow{v}||\cos \theta }{||\overrightarrow{d}||}\overrightarrow{d}\\ ort{h}_{\overrightarrow{d}}\overrightarrow{v}& =\overrightarrow{v}-pro{j}_{\overrightarrow{d}}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}-\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}|{|}^2}\overrightarrow{d}\end{array}$$

Propriétés

Théorème de projection

Soit $\overrightarrow{v}\in {\mathbb{R}}^n$ et $\overrightarrow{d}\in {\mathbb{R}}^n$,

$$\begin{array}{rlr}\mathrm{\exists }\overrightarrow{a}& =\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}||}\frac{\overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}||}& \parallel \overrightarrow{d}\\ \overrightarrow{b}& =\overrightarrow{v}-\overrightarrow{a}& \perp \overrightarrow{d}\end{array}$$

preuve de projection

Selon la définition de $\cos \theta$,

$$\cos \theta =\frac{\overrightarrow{p}}{||\overrightarrow{v}||}⟹p=||\overrightarrow{v}||\cos \theta$$

Soit $\overrightarrow{e}=\frac{\overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}||}$,

$$\begin{array}{rl}⟹p& =||\overrightarrow{v}||||\overrightarrow{e}||\cos \theta \\ & =\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{e}\\ & =\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}||}\end{array}$$

Puisque $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{d}$ et $||\overrightarrow{a}||=p$,

$$\overrightarrow{a}=p\frac{\overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}||}=\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}||}\frac{\overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}||}$$

Pour vérifier que $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}$,

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}& =\overrightarrow{a}\cdot (\overrightarrow{v}-\overrightarrow{a})\\ & =\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}\\ & =\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{v}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}\\ & =\left(\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}|{|}^2}\overrightarrow{d}\right)\cdot \overrightarrow{v}-\left(\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}|{|}^2}\overrightarrow{d}\right)\cdot \left(\frac{\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}}{||\overrightarrow{d}|{|}^2}\overrightarrow{d}\right)\\ & =\frac{(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}{)}^2}{||\overrightarrow{d}|{|}^2}-\frac{(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}{)}^2}{||\overrightarrow{d}|{|}^4}(\overrightarrow{d}\cdot \overrightarrow{d})\\ & =\frac{(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}{)}^2}{||\overrightarrow{d}|{|}^2}-\frac{(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{d}{)}^2}{||\overrightarrow{d}|{|}^2}\\ & =0\end{array}$$

$◻$

Exemples

Soit $A(-2,3,2),B(6,-1,6),P(1,3,2),R$ et que $AB\perp PR$, trouver les coordonnées de $R$.

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{BA}& =<-8,4,-4>\\ \overrightarrow{BP}& =<-5,4,-4>\\ \\ \overrightarrow{BR}=pro{j}_{\overrightarrow{BA}}\overrightarrow{BP}& =\frac{\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BA}}{\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BA}}\overrightarrow{BA}\\ & =0.75<-8,4,-4>\\ & =<-6,3,-3>\\ \\ \overrightarrow{OR}& =\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BR}\\ & =<6,-1,6>+<-6,3,-3>\\ & =<0,2,3>\\ ⟹R& =(0,2,3)\end{array}$$

Contributors

Ajitani Hifumi

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