produit scalaire

Propriétés

$θ = \arccos \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{| | \vec{v} | | | | \vec{w} | |}$

Commutativité

$\vec{v} \cdot \vec{w} = \vec{w} \cdot \vec{v}$

Distributivité

$\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$

\begin{aligned} \vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) & = \vec{u} \cdot < v_{1} + w_{1}, v_{2} + w_{2}, \dots v_{n} + w_{n} > \\ = u_{1} (v_{1} + w_{1}) + u_{2} (v_{2} + w_{2}) + \dots u_{n} (v_{n} + w_{n}) \\ = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + \dots u_{n} v_{n} + u_{1} w_{1} + u_{2} w_{2} + \dots u_{n} w_{n} \\ = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \end{aligned}

$◻$

Associativité avec multiple scalaire

$(c \vec{u}) \cdot \vec{v} = c (\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (c \vec{v})$

Carré de norme

$\vec{u} \cdot \vec{u} = | | \vec{u} | |^{2}$

Perpendicularité

$\vec{v} ⊥ \vec{w} ⟺ \vec{v} \cdot \vec{w} = 0$

Exemples

Supposer que $| | \vec{v} | | = 6, | | \vec{w} | | = 5, \vec{v} \cdot \vec{w} = - 5$ , évaluer $(6 \vec{v} + \vec{w}) \cdot (2 \vec{v} - 5 \vec{w})$ .

\begin{aligned} (6 \vec{v} + \vec{w}) \cdot (2 \vec{v} - 5 \vec{w}) & = 12 \vec{v} \cdot \vec{v} - 30 \vec{v} \cdot \vec{w} + 2 \vec{w} \cdot \vec{v} - 5 \vec{w} \cdot \vec{w} \\ = 12 | | \vec{v} | |^{2} - 28 \vec{v} \cdot \vec{w} - 5 | | \vec{w} | |^{2} \\ = 12 \cdot 6^{2} - 28 (- 5) - 5 \cdot 5^{2} \\ = 447 \end{aligned}

Montrer que les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.

200

On veut montrer que $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

\begin{aligned} \vec{u} \cdot \vec{v} & = (\vec{d} + \vec{a}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) \\ = \vec{d} \cdot \vec{a} + \vec{d} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} \\ = - \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} \\ = 0 \end{aligned}

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Ajitani Hifumi

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