Coniques

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Algebra

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Alloprof

[!abstract]+ Lieu géométrique
Ensemble de points d'un espace géométrique qui sont caractérisés par une propriété métrique commune

^8b160e

Cercle

Lieu géométrique de tous les points dont la distance à 1 point (centre) est constante
Sous-ensemble de l’ellipse

Forme générale : $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ où $F<(\frac{D}{2}{)}^2+(\frac{E}{2}{)}^2$

Forme canonique :

$$\begin{array}{rl}(x-h{)}^2+(y-k{)}^2& =r^2\\ D& =-2h\\ E& =-2k\\ F& =h^2+k^2-r^2\end{array}$$

Ellipse

Lieu géométrique de tous les points dont la somme des distances à 2 points (foyers) est constante

Forme générale : $A{x}^2+B{y}^2+Dx+Ey+F=0$ où $A$ et $B$ sont différents et de même signe

Forme canonique :

$$\begin{array}{rl}\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}& =1\\ \text{Longueurs des axes de symétrie}& :2a,2b\\ \text{Somme des distances aux foyers}& :max(2a,2b)\end{array}$$

Parabole

Lieu géométrique de tous les points dont les distances à 1 point (foyer) et à une droite (directive) sont égales
Courbe divergente crée par une section conique parallèle

	Forme canonique (verticale)	Forme canonique (horizontale)
Équation	$(x-h{)}^2=4c(y-k)$	$(y-k{)}^2=4c(x-h)$
Sommet	$(h,c+k)$	$(c+h,k)$
Directrice	$y=k-c$	$x=h-c$

Hyperbole

Lieu géométrique de tous les points dont la différence absolue des distances à 2 points (foyers) est constante
Courbe qui s’approche de deux asymptotes. Toujours en paire

Forme générale : $A{x}^2+B{y}^2+Dx+Ey+F=0\text{ où }AB$

	Forme canonique (verticale)	Forme canonique (horizontale)
Équation	$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=-1$	$\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$
$c$	$a^2+b^2$	$a^2+b^2$
Sommets	$(h,-b+k),(h,b+k)$	$(-a+h,k),(a+h,k)$
Foyers	$(h,-c+k),(h,c+k)$	$(-c+h,k),(c+h,k)$
Asymptotes	$y=\pm \frac{b}{a}(x-h)+k$	$y=\pm \frac{b}{a}(x-h)+k$

- Preuve des asymptotes

$$\begin{array}{rl}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}& =\pm 1\\ \frac{y^2}{b^2}& =\frac{x^2}{a^2}\mp 1\\ y^2& =b^2(\frac{x^2}{a^2}\mp \frac{a^2}{a^2})\\ y& =\sqrt{\frac{b^2}{a^2}(x^2\mp a^2)}\\ y& \approx \pm \frac{b}{a}x\end{array}$$

Contributors

Ajitani Hifumi

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